Question

已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=1-2|x-

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2

|，当x∈（-∞，-1]，f（x）=1-e^-1-x，若关于x的不等式（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（　　）

• A、（-1，0）∪（0，+∞）
• B、（-2，0）∪（0，+∞）
• C、{-

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  2

  ，-ln2，-1}∪（0，+∞）
• D、{-

  1

  2

  ，-ln2，0}∪（0，+∞）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，然后作出函数的图象，对m进行分类讨论进行求解即可．

解答： 解：若x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
则f（-x）=1-2|-x-

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|=1-2|x+

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|，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=1-2|x+

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|=-f（x），
则f（x）=2|x+

1

2

|-1，x∈[-1，0]，
若x∈[1，+∞），则-x∈（-∞，-1]，
则f（-x）=1-e^-1+x=-f（x），
则f（x）=e^-1-x-1，x∈[1，+∞），
作出函数f（x）的图象如图：
当m＞0时，x+m＞x，此时当x≥1时，不等式成立．
当m＜0时，x+m＜x，
①当x≥1时，有1+m≤x+m，不等式有解只需要1+m＞0即可，解得m＞-1，
②当0≤x＜1时，有m≤x+m＜1+m，不等式有解，只需1+m＞0即可，解得m＞-1，
③当-1＜x＜0时，有m-1＜x+m＜m，不等式有解，只需m＞-1即可，
④当x≤-1时，有x+m＜m-1＜-1，此时不等式一定无解，
综上m的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞），
故选：A

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键．