Question

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t.

(t为参数)．直线l与曲线C分别交于M、N．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）首先把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用一元二次方程判别式求出参数a的取值范围．
（Ⅱ）直接利用参数方程中的关系式|t1-t2|2=|t1t2|求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y²=2ax  （a＞0）
将直线l的参数方程

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t.

(t为参数)
代入曲线C的直角坐标方程得：

1

2

t2-(4

2

+

2

a)t+16+4a=0
因为交于两点，所以△＞0，即a＞0或a＜-4．
（Ⅱ） 设交点M，N对应的参数分别为t1 ，t2 ．则t1+t2=2(4

2

+

2

a)，t1t2=2(16+4a)
若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则|t1-t2|2=|t1t2|
解得a=1或a=-4（舍）
所以满足条件的a=1．

点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，一元二次方程判别式的应用，等比中项的应用．