Question

已知直线l的方程为y=

3

x-2

3

，又直线l过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的
右焦点，且椭圆的离心率为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）判断椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，求出椭圆的焦点为（2，0）结合椭圆的离心率，求出a、b，即可求解椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AB方程为y=kx+1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆分得到方程组，利用韦达定理与距离公式求出三角形的面积表达式，构造函数通过好的导数求解面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，
∵直线l与x轴的交点为（2，0），∴椭圆的焦点为（2，0），∴c=2，…（1分）
又∵e=

c

a

=

6

3

，∴a=

6

，∴b²=a²-c²=2…（3分）
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ） 直线AB的斜率显然存在，设直线AB方程为y=kx+1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 6 + y2 2 =1

，得（3k²+1）x²+6kx-3=0，
显然△＞0，x1+x2=

-6k

3k2+1

，x1•x2=

3

3k2+1

…（6分）点D（0，1），|OD|=1，S△AOB=S△AOD+S△BOD=

1

2

|OD||x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

…（8分）
=

1

2

36k2 (3k2+1)2 + 12 3k2+1

=

3

6k2+1 (3k2+1)2

=

3

2(3k2+1)-1 (3k2+1)2

=

3

2 3k2+1 - 1 (3k2+1)2

…（10分）
令t=

1

3k2+1

，则t∈（0，1]，
S△AOB=

3

-t2+2t

=

3

-(t-1)2+1

，g'（x）=0，即k=0时，
∵g(x1)-g(x2)=[lnx1+

1

2

x

2 1

-(b-1)x1]-[lnx2+

1

2

x

2 2

-(b-1)x2]的最大值为

3

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，难度比较大，考查分析问题解决问题的能力．