Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b∈R）满足条件：①当x∈R时，f（x）的最大值为0，且f（x-1）=f（3-x）成立；②二次函数f（x）的图象与直线y=-2交于A、B两点，且|AB|=4
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求最小的实数n（n＜-1），使得存在实数t，只要当x∈[n，-1]时，就有f（x+t）≥2x成立．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据题意可假设f（x）=a（x-1）²．（a＜0），令a（x-1）²=-2，x=1±

-2 a

，求解即可得出解析式．
（Ⅱ）利用不等式解得-t-1-2

t

≤x≤-t-1+2

t

，又f（x+t）≥2x在x∈[n，-1]时恒成立，转化为令g（t）=-t-1-2

t

，易知g（t）=-t-1-2

t

单调递减，
所以，g（t）≥g（4）=-9，得出n能取到的最小实数为-9．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x-1）=f（3-x）可知函数f（x）的对称轴为x=1，
由f（x）的最大值为0，可假设f（x）=a（x-1）²．（a＜0）
令a（x-1）²=-2，x=1±

-2 a

，则易知2

-2 a

=4，a=-

1

2

．
所以，f（x）=-

1

2

（x-1）²．
（Ⅱ）由f（x+t）≥2x可得，-

1

2

（x-1+t）²≥2x，即x²+2（t+1）x+（t-1）²≤0，
解得-t-1-2

t

≤x≤-t-1+2

t

，
又f（x+t）≥2x在x∈[n，-1]时恒成立，
可得由（2）得0≤t≤4．
令g（t）=-t-1-2

t

，易知g（t）=-t-1-2

t

单调递减，
所以，g（t）≥g（4）=-9，
由于只需存在实数，故n≥-9，则n能取到的最小实数为-9．
此时，存在实数t=4，只要当x∈[n，-1]时，就有f（x+t）≥2x成立．

点评：本题考查了函数的解析式的求解，方程组求解问题，分类讨论求解，属于中档题．