Question

已知关于x的不等式|2x-1|-|x-1|≤log₂a．
（1）当a=8时，求不等式解集．
（2）若不等式有解，求a的范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当a=8时，化简不等式通过去绝对值符号，求解不等式得到解集．
（2）若不等式有解，转化为函数的最值问题，然后求a的范围．

解答： 解：（1）由题意可得：|2x-1|-|x-1|≤3…（1分）
当x≤

1

2

时，-2x+1+x-1≤3，x≥-3，即-3≤x≤

1

2

…（2分）
当

1

2

＜x＜1时，2x-1+x-1≤3，即x≤

5

3

…（3分）
当x≥1时，2x-1-x+1≤3，即x≤3…（4分）
∴该不等式解集为{x|-3≤x≤3}．…（5分）
（2）令f（x）=|2x-1|-|x-1|，有题意可知：lo

g

a 2

≥f(x)min…（6分）
又∵f(x)=

-x，x≤ 1 2 3x-2， 1 2 ＜x＜1 x，x≥1

…（8分）
∴f(x)min=-

1

2

…（9分）
即a≥2-

1

2

=

2

2

，…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值以及几何意义，考查分类讨论思想以及计算能力．