【题目】正方形的棱长为1,点
分别是棱
的中点.
(Ⅰ)求二面角的余弦值;
(Ⅱ)以为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上,求这个正三棱柱的高.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)以为原点,以
的方向分别为
轴,
轴的正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面
的法向量和平面
的法向量,从而可求出二面角
的余弦值;(Ⅱ)连接
,分别取他们中点记为
,分别连接
,根据三角形中位线的性质,可推出
且
,进而推出
为三棱柱的高,结合正方形的棱长为1,即可求值.
试题解析:(Ⅰ)以为原点,以
的方向分别为
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
,则点
,
,
,
.
∴,
.
设平面的法向量为
.
∴即
,解得
.
平面的法向量为
∴.
由图可知,二面角为钝角,故余弦值为.
(Ⅱ)连接,分别取他们中点记为
,分别连接
是
的中位线,
且
,
且
.
且
.
同理可证且
,
且
,此时
即为三棱柱高
.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为
,求该四棱锥的侧面积.
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【题目】已知函数.
(1)若m=0,求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间上是增函数,求实数m的取值范围.
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【题目】执行如图所示的程序框图,则“3<m<5”是“输出i的值为5”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资类产品的收益与投资额成正比,投资
类产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时
两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
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【题目】(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
为参数),P、Q分别为直线
与x轴、y轴的交点,线段PQ的中点为M.
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)以坐标原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标和直线OM的极坐标方程.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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