Question

14．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1；②g（x）≠0；③f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）．
若$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 2或$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先根据$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x的单调性求a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可．

解答 解：由 $\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，得a¹+a^-1=$\frac{5}{2}$，
所以a=2或a=$\frac{1}{2}$．
又由f（x）•g′（x）＞f′（x）•g（x），
即f（x）g′（x）-f′（x）g（x）＞0，
也就是[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=-$\frac{f（x）•g′（x）-g（x）•f′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
说明函数$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x是减函数，
即0＜a＜1，故a=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．