Question

19．已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）
（1）当a=3时，判断函数g（x）=x²+f（x）的单调性；
（2）若a＞0，函数f（x）在x=1的切线l也是曲线x²+y²+2x-8y+9=0的切线，求实数a的值，并写出直线l的方程；
（3）若a=1，证明$|{f（x）}|＞\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出f（x）的导数，由x²+y²+2x-8y+9=0，得（x+1）²+（y-4）²=8，求出a的值，从而求出直线方程即可；
（3）令G（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，问题转化为G（x）_max＜|f（x）|_min，分别求出其最大值和最小值即可．

解答 解：（1）当a=3时，g（x）=x²+lnx-3x，
$g'（x）=2x+\frac{1}{x}-3=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}=\frac{{2（{x-1}）（x-\frac{1}{2}）}}{x}$（2分）
当$x∈（0，\frac{1}{2}）和（{1，+∞}）$时，g′（x）＞0，当$x∈（\frac{1}{2}，1）$时，g′（x）＜0（4分）
故g（x）在$（0，\frac{1}{2}）和（{1，+∞}）$上单调递增，在$（\frac{1}{2}，1）$上单调递减（5分）
（2）因为$f'（x）=\frac{1}{x}-a$，所以f′（1）=1-a，又∵f（1）=-a，
故切线l的方程为y+a=（1-a）（x-1），即（a-1）x+y+1=0（6分）
由x²+y²+2x-8y+9=0变形得（x+1）²+（y-4）²=8，
它表示以点（-1，4）为圆心，半径长为$2\sqrt{2}$的圆，
由条件得$\frac{{|{4+（1-a）+1}|}}{{\sqrt{1+{{（{1-a}）}^2}}}}=2\sqrt{2}$，解得a=2（负值已舍去）（7分）
此时直线l的方程是y+x+1=0（8分）
（3）证明：因为$f'（x）=\frac{1-x}{x}$，故f（x）在（0，1）上是递增，在（1，+∞）上递减，
f（x）_max=f（1）=ln1-1=-1，所以|f（x）|_min=1（19分）
设G（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，则${G^'}（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
故G（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减（10分）
故$G{（x）_{max}}=G（e）=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}＜1$，
故G（x）_max＜|f（x）|_min（11分）
所以$|{f（x）}|＞\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$对任意x∈（0，+∞）恒成立（12分）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．