Question

若定义在R上的偶函数f（x）在（-∞，0]上是增函数，且f(-

1

2

)=2，那么不等式f(sin(2x-

π

3

))＜2在[-

π

2

，

π

2

]上的解集为（　　）

• A、[-

  π

  2

  ，-

  π

  3

  ）∪（-

  π

  4

  ，

  π

  12

  ）∪（

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]
• B、[-

  π

  2

  ，-

  π

  3

  ）∪（

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]
• C、[-

  π

  2

  ，-

  π

  3

  ）∪（-

  π

  4

  ，

  π

  2

  ）
• D、[-

  π

  2

  ，-

  5π

  12

  ）∪（-

  π

  4

  ，

  π

  12

  ）∪（

  π

  4

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：利用偶函数的图象关于y轴对称，又且在（-∞，0]上为增函数，将不等式中的抽象的对应法则“f”化去，变形为三角不等式，求出解集．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上为增函数，f(-

1

2

)=2，f(

1

2

)=2∴原不等式可化为sin(2x-

π

3

)＜-

1

2

  或   sin(2x-

π

3

)＞

1

2

∵x∈[-

π

2

，

π

2

]∴2x-

π

3

∈[-

4π

3

，

2π

3

]，∴须2x-

π

3

∈[-

4π

3

，-

2π

3

）∪（-

5π

6

，-

π

6

）∪（

π

6

，

2π

3

]，解得x∈[-

π

2

， -

5π

12

）∪（-

π

4

，

π

12

）∪（

π

4

，

π

2

]
故选D

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性及其应用，三角不等式的解法．