Question

若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）-log₅|x|的零点个数有

8

个．

Answer 1

分析：f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期[-1，1]上，图象是2条斜率分别为1和-1的线段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象；y=log₅|x|也是个偶函数，图象过（1，0），和（5，1），结合图象可得函数y=f（x）的图象与函数y=log₄|x|的图象的交点个数，从而得到函数零点个数．

解答：解：由题意知，函数y=f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期[-1，1]上，
图象是2条斜率分别为1和-1的线段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象．
函数y=log₅|x|也是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，
则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍．
在（0，+∞）上，y=log₅|x|=log₅ x，图象过（1，0），和（5，1），是单调增函数，与f（x）交与4个不同点，
∴函数y=f（x）的图象与函数y=log₄|x|的图象的交点个数是8个，
故答案为 8．

点评：本题本题考查函数的周期性、奇偶性、函数图象的对称性，体现数形结合的数学思想．考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件分析函数的性质，进而判断出函数零点的分布情况是解答本题的关键．