Question

数列{a_n}中，a₁=

1

3

，前n项和S_n满足S_n+1-S_n=（

1

3

）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n；
（Ⅱ）若S₁，t（S₁+S₂），3（S₂+S₃）成等差数列，求实数t的值．

Answer 1

（Ⅰ）由S_n+1-S_n=（

1

3

）n+1得an+1=(

1

3

)n+1（n∈N*）；
又a1=

1

3

，故an=(

1

3

)n（n∈N*）
从而sn=

1 3 ×[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]（n∈N*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S1=

1

3

，S2=

4

9

，S3=

13

27

．
从而由S₁，t（S₁+S₂），3（S₂+S₃）成等差数列可得：

1

3

+3×(

4

9

+

13

27

)=2×(

1

3

+

4

9

)t，解得t=2．