Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1 ， x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；
（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3﹣3x

（2）解：∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，

fmax（x）=f（﹣1）=2，fmin（x）=f（1）=﹣2

∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|

|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|=2﹣（﹣2）=4

（3）解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

∵曲线方程为y=x3﹣3x，∴点A（1，m）不在曲线上．

设切点为M（x0，y0），切线的斜率为 （左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），

整理得2x03﹣3x02+m+3=0．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件

设g（x0）=2x03﹣3x02+m+3，则g′（x0）=6x02﹣6x0，

由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．

∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1

∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是 ，解得﹣3＜m＜﹣2．

故所求的实数m的取值范围是﹣3＜m＜﹣2

【解析】（1）解析式中有两个参数，故需要得到两个方程求参数，由于函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值，由极值存在的条件恰好可以得到两个关于参数的两个方程，由此解析式易求．（2）欲证对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1 ， x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，可以求出函数在区间[﹣1，1]上的最值，若最大值减去最小值的差小于等于4，则问题得到证明，故问题转化为研究函数在区间[﹣1，1]上的单调性求最值的问题．（3）由于点A（1，m）（m≠﹣2），验证知此点不在函数图象上，可设出切点坐标M（x0 ， y0），然后用两种方式表示出斜率，建立关于切点横坐标的方程2x03﹣3x02+m+3=0，再借助函数的单调性与极值确定其有三个解的条件即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；极值反映的是函数在某一点附近的大小情况才能正确解答此题．