Question

【题目】已知点H（x0 ， y0）在圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中点C为圆心，D2+E2﹣4F＞0）外，由点H向圆C引切线，其中一个切点为M．
求证：|HM|= ；
（1）已知点H（x0 ， y0）在圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中点C为圆心，D2+E2﹣4F＞0）外，由点H向圆C引切线，其中一个切点为M．
求证：|HM|= ；
（2）如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆P经定点B（1，0），直线l是圆P在点B处的切线，过A（﹣1，0）作圆P的两条切线分别与l交于E，F两点．
求证：|EA|+|EB|为定值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：圆C的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，

化为标准方程为 + = ，

C（﹣ ，﹣ ），圆C的半径为r= ，

由平面几何知识可知，在△HMC中，∠HMC=90°；

∴HM2=HC2﹣CM2

= + ﹣

= + +Dx0+Ey0+F．

∴|HM|=

（2）解：如图所示，设过A（﹣1，0）的圆P的两条切线的切点分别为M，N，

由题意知EB=EM，

∴EA+EB=|AM|，

设P点坐标为（4，y0），则圆P的方程为

（x﹣4）2+（y﹣y0）2=9+y02，

即x2+y2﹣8x﹣2y0y+7=0，

由第（Ⅰ）问的结论可知

|AM|= =4，

∴|EA|+|EB|=4．

【解析】1、由题意可得在RT△HMC中,根据勾股定理可 得结果。
2、由过一点作圆的两条切线的性质可得EB=EM，可得要求的结果EA+EB=|AM|再根据（1）的结论可求得。
【考点精析】本题主要考查了直线与圆的三种位置关系的相关知识点，需要掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点才能正确解答此题．