【题目】从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)；第二组[160，165)；…第八组[190，195]，图是按上述分组方法得到的条形图.
(1)根据已知条件填写将表格填写完整；
组别 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
样本 | 2 | 4 | 10 | 10 | 15 | 4 |
(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；
(3)在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？
【答案】（1）见解析（2）144(人).（3）
【解析】
（1）根据第七组频率计算人数，然后再求第八组人数；（2）根据样本计算出身高在180cm以上（含180cm）的频率，然后再计算人数；（3）先考虑总的可能数，然后计算一男一女的种数，即可计算对应概率.
解：(1)由条形图得第七组频率为1-(0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3)=0.06，0.06×50=3.
∴第七组的人数为3人.第八组的人数为2人，即
组别 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
样本数 | 2 | 4 | 10 | 10 | 15 | 4 | 3 | 2 |
(2)由条形图得后三组频率为(0.08+0.06+0.04)=0.18，估计这所学校高三年级身高在180cm以上(含180cm)的人数800×0.18=144(人).
(3)基本事件有12个，恰为一男一女的事件有共7个，
因此实验小组中，恰为一男一女的概率是.
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【题目】下列四个命题中，其中错误的个数是（）
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；
②经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；
③球的面积是它大圆面积的四倍；
④球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长．
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【题目】下列命题中正确命题的个数是
（1）对分类变量
与
的随机变量
的观测值
来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；
（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；
（3）在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；
（4）设随机变量
服从正态分布
；
若
，则
（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】下列四组函数中，f (x)与g (x)表示同一个函数的是（ ）
A.f (x) = |x|，g(x) =
B.f (x) = 2x，g (x) =
C.f (x) = x，g (x) =
D.f (x) = x，g (x) =
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【题目】已知抛物线
的焦点曲线
的一个焦点， 
为坐标原点，点
为抛物线
上任意一点，过点
作
轴的平行线交抛物线的准线于
，直线
交抛物线于点
.
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）求证：直线
过定点
，并求出此定点的坐标.
【答案】（I）
；（II）证明见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线
化为标准方程，可求得
的焦点坐标分别为
，可得
，所以
，即抛物线的方程为
；（Ⅱ）结合（Ⅰ），可设
，得
，从而直线
的方程为
,联立直线与抛物线方程得
，解得
，直线
的方程为
，整理得
的方程为
，此时直线恒过定点
.
试题解析：（Ⅰ）由曲线
，化为标准方程可得
， 所以曲线
是焦点在
轴上的双曲线，其中
，故
， 
的焦点坐标分别为
，因为抛物线的焦点坐标为
，由题意知
，所以
，即抛物线的方程为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线
的准线方程为
，设
，显然
.故
，从而直线
的方程为
,联立直线与抛物线方程得
，解得
①当
，即
时，直线
的方程为
，
②当
，即
时，直线
的方程为
，整理得
的方程为
，此时直线恒过定点
， 
也在直线
的方程为
上，故直线
的方程恒过定点
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数
， 
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递减区间；
（Ⅱ）若
时，关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若数列
满足
， 
，记
的前
项和为
，求证： 
.
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【题目】2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：
收看 | 没收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(Ⅰ)根据上表说明，能否有
的把握认为，收看开幕式与性别有关？
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？
(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.
附：
，其中
.
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
,点
也为抛物线
的焦点.(1)若
为椭圆
上两点,且线段
的中点为
,求直线的斜率；
(2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于
和
,设线段
的长分别为
,证明
是定值.
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【题目】将圆
上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的4倍，得曲线
.
（1）写出的参数方程；
（2）设直线
与的交点为
，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段
的中点与
垂直的直线的极坐标方程.
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