Question

如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=1，E为BC的中点．
（1）求点C到面PDE的距离；  
（2）求二面角P-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设点C到面PDE的距离为d，根据等积代换，利用

1

3

•S△CDE•PA=

1

3

•S △PDE•d求解．
（2）由（1）DE⊥面APE，所以∠AEP为二面角P-DE-A的平面角，在直角三角形PAE中求解．

解答：解：（1）连接AE，易得AE=DE=

2

，而AD=2∴△ADE为直角三角形，故AE⊥DE
又PA⊥面ABCD，所以PA⊥DE，DE⊥面APE，PE⊥DE，S△PED=

1

2

•PE•DE=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

又S△ECD=

1

2

•CE•CD=

1

2

，由V_P-CDE=V_C-PDE，设点C到面PDE的距离为d，
则

1

3

•S△CDE•PA=

1

3

•S △PDE•d，得d=

6

6

（2）由（1）DE⊥面APE，故AE⊥DE，PE⊥DE，所以∠AEP为二面角P-DE-A的平面角．又PA⊥AE，
∴cos∠AEP=

AE

AP

=

2

3

=

6

3

，所以二面角P-DE-A的余弦值为

6

3

点评：此题重点考查了线线垂直，线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定及性质，还考查了利用三垂线定理求出二面角，点到平面的距离求解．