Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角D-PQ-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以AD、DP、DC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量可证得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，再根据线面垂直的判断定理可证得PQ⊥平面DCQ，最后根据面面垂直的判断定理证得结论；
（2）先证∠CQD为二面角D-PQ-C的平面角，然后在Rt△CQD中求出此角的余弦值，即可得到二面角D-PQ-C的余弦值．

解答：（1）证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以AD、DP、DC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），则

DQ

=（1，1，0），

DC

=（0，0，1），

PQ

=（1，-1，0），
∴

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC=D，∴PQ⊥平面DCQ．
又PQ?平面PQC，
∴平面PQC⊥平面DCQ．
（2）由（1）知PQ⊥DQ，PQ⊥平面DCQ，
∵DC?平面DCQ，
∴PQ⊥DC，而PQ⊥DQ，
则∠CQD为二面角D-PQ-C的平面角，DQ=

2

，CQ=

3

在Rt△CQD中cos∠CQD=

DQ

CQ

=

2

3

=

6

3

，
∴二面角D-PQ-C的余弦值为

6

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，以及二面角的求解，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．