Question

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键，要在平面中寻找与已知直线垂直的两条相交直线，进行线面关系的互相转化；
（Ⅱ）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键，掌握好锥体的体积计算公式．

解答：解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形，
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

2

2

PD，则PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D，
所以PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）设AB=a，
由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q一ABCD的体积v1=

1

3

a3
由（Ⅰ）知PQ为棱锥P-DCQ的高而PQ=

2

a．△DCQ的面积为

2

2

a2．
所以棱锥P-DCQ的体积v2=

1

3

a3
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1：l．

点评：本题考查空间中线面垂直的判定方法，考查学生的转化与化归能力，将线面垂直转化为线线垂直，注意步骤的规范性，考查学生对锥体的体积的计算方法的认识，考查学生的几何计算知识．