Question

定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）成立；②对任意的x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，则（　　）

• A、f（0）＜f（

  2

  ）＜f（3）
• B、f（3）＜f（

  2

  ）＜f（0）
• C、f（3）＜f（0）＜f（

  2

  ）
• D、f（0）＜f（3）＜f（

  2

  ）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由条件f（1+x）=f（1-x），可知函数f（x）关于x=1对称，由

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，可知函数在x＞1时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到a，b，c的大小．

解答： 解：∵f（1+x）=f（1-x），
∴函数f（x）关于x=1对称，
∵任意的x₁，x₂＞1（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴函数在x＞1时单调递减，
∵f（0）=f（2），
∴f（3）＜f（2）＜f（

2

），
即f（3）＜f（0）＜f（

2

）
故选：C．

点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用条件求出函数的单调性和对称性，利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键．