Question

（2012•衡阳模拟）已知△ABC的面积为2

3

，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

AB

•

AC

=4．
（1）求角A；
（2）求

b+c

2a

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积代入得到一个关系式，记作①，利用平面向量的数量积运算法则化简

AB

•

AC

=4，得到另一个关系式，记作②，①÷②，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，求出tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）法1：由A的度数，求出B+C的度数，用B表示出C，利用正弦定理化简所求的式子，将sinA的值代入，并将表示出的C代入，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的最大值，即为所求式子的最大值；
法2：由A的度数得出cosA的值，利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，将cosA的值代入并利用完全平方公式变形，再利用基本不等式化简，变形后求出所求式子的范围，即可得到所求式子的最大值．

解答：解：（1）∵△ABC的面积为2

3

，

AB

•

AC

=4，
∴

1

2

bcsinA=2

3

①，bccosA=4②，
①÷②得：tanA=

3

，
又A为三角形的内角，
则A=

π

3

；
（2）法1：∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴根据正弦定理得：

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sinB+sinC

3

=

3

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=

3

3

（

3

2

cosB+

3

2

sinB）=sin（B+

π

6

），
∵0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴当B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，sin（B+

π

6

）取得最大值1，
则

b+c

2a

的最大值是1；
法2：∵cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3（

b+c

2

）²=

1

4

（b+c）²，
整理得：（

b+c

4a

）²≤1，即

b+c

4a

≤1，
则当b=c时，

b+c

4a

最大值是1．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算法则，三角函数的恒等变形，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．