Question

19．如图，平面EFGH分别平行于CD，AB，点E，F，G，H分别在AC，AD，BD，BC上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）点E在什么位置时，四边形EFGH的面积最大？

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质证明四边形EFGH是矩形．
（2）根据边长关系，建立函数关系，然后求四边形EFGH的面积．

解答 （1）证明：∵CD∥面EFGH，CD?平面ACD，
平面EFGH∩平面ACD=EF，
∴CD∥EF，同理HG∥CD，
∴EF∥HG，同理HE∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵CD∥EF，HE∥AB，
∴∠HEF（或其补角）为CD和AB所成的角，
又∵CD⊥AB，
∴HE⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形；
（2）解：由（1）可知在△ABC中EH∥AB，
记$\frac{CH}{CB}$=$\frac{EH}{AB}$=λ（0＜λ＜1），则EH=λb，
在△BCD中GH∥CD，则$\frac{BH}{BC}$=$\frac{GH}{CD}$=1-λ，
∴GH=a（1-λ），
又∵四边形EFGH是矩形，
∴S_矩形EFGH=a（1-λ）•λb
≤ab•$（\frac{1-λ+λ}{2}）^{2}$
=$\frac{ab}{4}$，当且仅当λ=1-λ即λ=$\frac{1}{2}$时等号成立，
即H为BC的中点时，矩形EFGH的面积最大为$\frac{ab}{4}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断和应用，考查学生的运算和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．