Question

8．已知直线（m-2）y-（3m-1）x+1=0．
（1）求证：不论m取何值，直线恒过一定点，并求此点的坐标；
（2）当直线不经过第二象限时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由不论m取何值，直线恒过一定点，得到m的系数和为0，由此能证明不论m取何值，直线恒过一定点，且能求出定点坐标．
（2）把直线转化为y=$\frac{3m-1}{m-2}x-\frac{1}{m-2}$，由直线不经过第二象限，得到x的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m的取值范围．

解答 （1）证明：∵（m-2）y-（3m-1）x+1=0，
∴（y-3x）m+x-2y+1=0，
∵不论m取何值，直线恒过一定点，
∴m的系数和为0，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y-3x=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴不论m取何值，直线恒过一定点，定点坐标为（$\frac{1}{5}，\frac{3}{5}$）．
（2）解：∵直线（m-2）y-（3m-1）x+1=0，
∴当m=2时，直线为x=-$\frac{1}{5}$，直线过二、三象限；
当m≠2时，y=$\frac{3m-1}{m-2}x-\frac{1}{m-2}$，
∵直线不经过第二象限，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3m-1}{m-2}≥0}\\{-\frac{1}{m-2}≤0}\end{array}\right.$，
解得m＞2．
∴实数m的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查直线方程过定点的证明，考查直线不过第二象限时参数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意直线方程的性质的合理运用．