Question

18．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}π$
• B． $\frac{16}{3}π$
• C． $\frac{26}{3}π$
• D． $\frac{{32\sqrt{3}}}{27}π$

Answer 1

分析 根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，由此求出该几何体的外接球的半径，即可求出它的表面积．

解答 解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为$\sqrt{3}$的直三棱锥；
且该几何体的外接球球心在侧视图高上，如图所示；
设球心为O，半径为r，
则${r^2}={（\sqrt{3}-r）^2}+1$，
解得$r=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
所以，外接球的表面积为
$S=4π{r^2}=\frac{16π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了球体表面积的计算问题，是基础题目．