Question

7．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求二面角D-BC₁-C的大小．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BC₁-C的大小．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，1），
设平面DBC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
又平面BCC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角D-BC₁-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$θ=arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角D-BC₁-C的大小为$arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．