Question

17．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的渐近线，一条准线为x=$\frac{18}{5}$；
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦点，实轴长为18．

Answer 1

分析 （1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的渐近线，设方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，即$\frac{{x}^{2}}{9λ}-\frac{{y}^{2}}{16λ}=1$（λ＞0），利用一条准线为x=$\frac{18}{5}$，求出λ，可得双曲线的标准方程；
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦点，实轴长为18，可得c=10，a=9，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的渐近线，设方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，即$\frac{{x}^{2}}{9λ}-\frac{{y}^{2}}{16λ}=1$（λ＞0），
∵一条准线为x=$\frac{18}{5}$，
∴$\frac{9λ}{5\sqrt{λ}}$=$\frac{18}{5}$，
∴λ=4，
∴方程为$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$；
（2）双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1的焦点坐标为（±10，0），
∵与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦点，实轴长为18，
∴c=10，a=9，
∴b=$\sqrt{19}$，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{81}-\frac{{y}^{2}}{19}=1$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．