Question

12．已知f（x）=$\frac{1}{2}$x²-tx+3lnx，g（x）=$\frac{2x+t}{{x}^{2}-3}$，且a、b为函数f（x）的极值点（0＜a＜b）
（Ⅰ）求证：a$＜\sqrt{3}＜b$；
（Ⅱ）判断函数g（x）在区间（-b，-$\sqrt{3}$），（-$\sqrt{3}$，-a）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若曲线g（x）在x=1处的切线斜率为-4，且方程g（x）-m=0（x≤0）有两个不等的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，利用极值点的性质知f'（a）=0，f'（b）=0，且a≠b，结合韦达定理得出结论．
（Ⅱ）对g（x）求导，结合（1）的结论a+b=t，ab=3，利用导函数进行判断即可
（Ⅲ）利用导函数得出原函数的单调性，利用极值点模拟函数，方程g（x）-m=0（x≤0）有两个不等的实根，m=g（x）有两个不同交点，进而得出m的取值范围．

解答 （Ⅰ）证明：f'（x）=x-t+$\frac{3}{x}$=$\frac{{x}^{2}-tx+3}{x}$，
∵a、b为f（x）的极值点，
∴a+b=t，ab=3．
又∵函数的定义域为（0，+∞），
∴a＞0，b＞0，且a≠b，不妨设b＞a，
∵ab=3，
∴0＜a＜$\sqrt{3}$＜b．
（Ⅱ）当x∈（-b，-$\sqrt{3}$）和（-$\sqrt{3}$，-a）时，g'（x）＞0，g（x）递增．
证明：g'（x）=-2$\frac{（{x}^{2}+tx+3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$，
∵a+b=t，ab=3，
∴g'（x）=-2$\frac{（{x}^{2}+tx+3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$=-2$\frac{（x+a）（x+b）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$，
∵0＜a＜$\sqrt{3}$＜b，
∴-b＜-$\sqrt{3}$＜-a＜0，
∴当x∈（-b，-$\sqrt{3}$）和（-$\sqrt{3}$，-a）时，g'（x）＞0，g（x）递增．
（Ⅲ）∵在x=1处的切线斜率为-4，
∴g'（1）=-4，
∴t=4．
∴g'（x）=-2$\frac{（x+1）（x+3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$
∵g（-1）=-1，g（-3）=-$\frac{1}{3}$，
当x∈（-∞，-3）递减，（-3，-$\sqrt{3}$）递增，（-$\sqrt{3}$，-1）递增，（-1，+∞递减），
方程g（x）-m=0（x≤0）有两个不等的实根，
∴m=g（x）有两个不同交点，
∴m的范围为（-$\frac{1}{3}$，0）或m＜-1．

点评 考查了导函数利用和韦达定理以及利用极值点模拟函数；难点是利用导函数的正负模拟函数的单调性，结合函数图象分析解决问题．