Question

2．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4$\sqrt{2}$，虚轴的一个端点与抛物线x²=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p=4．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，可得b=$\frac{p}{2}$，①，由渐近线方程可得k=$\frac{b}{2\sqrt{2}}$，②，将直线方程代入抛物线方程，运用相切的条件，可得p=$\frac{2}{{k}^{2}}$，③解方程即可得到p=4．

解答 解：由题意可得a=2$\sqrt{2}$，
抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为（0，$\frac{p}{2}$），
即有b=$\frac{p}{2}$，①
由题意可得k=$\frac{b}{a}$=$\frac{b}{2\sqrt{2}}$，②
直线y=kx-1代入抛物线方程，可得
x²-2pkx+2p=0，
由判别式为0，即4p²k²=8p，
即为p=$\frac{2}{{k}^{2}}$，③
由①②③，解得p=4，b=2．
故答案为：4．

点评 本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．