Question

13．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，截面BC₁D内的动点P到平面ABCD的距离到顶点C₁的距离相等，则动点P的轨迹的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出P所在平面与底面所成二面角的余弦函数值，转化P到底面的距离为到BD的距离，然后求解离心率．

解答 解：由题意可知，截面BC₁D与底面ABCD所成的角为：α，设正方体的棱长为1，
tanα=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，则cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
截面BC₁D内的动点P到平面ABCD的距离到顶点C₁的距离相等，
设距离为m，则PE=$\frac{\sqrt{6}m}{2}$，
所求曲线的离心率为：$\frac{PC}{PE}$=$\frac{m}{\frac{\sqrt{6}m}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查二面角的平面角的求法．解析几何与立体几何的综合题目，考查空间想象能力，转化思想的应用，难度比较大．