Question

15．已知a_n=n+2，从无穷数列{a_n}中抽取部分项a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，…a${\;}_{{k}_{3}}$，…组成一个等比数列{b_n}，其中1=k₁＜k₂＜k₃＜…＜k_n＜k_n+1＜…，（n∈N^*），k_n∈N^*，记这个等比数列的公比为q．
（1）求证：q∈N^*，q≥2；
（2）求证：$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$（n∈N^*）是正整数；
（3）设数列{a_n}的前n项的和为S_n，若存在n∈N^*，使S_n≥qⁿ成立，求q的所有可能取值，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列和等比数列的通项，即可得证；
（2）由（1）的结论和公式$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$=q^n-1+q^n-2+…+q+1，即可得证；
（3）由（1）的结论，列举q=2，3，4，…，再由二项式定理即可得到结论．

解答 （1）证明：由于a_n=n+2为整数，
等比数列{b_n}中各项均为整数，
即有公比q为正整数，又a${\;}_{{k}_{1}}$=a₁=3，
a${\;}_{{k}_{2}}$=k₂+2=3q≥2+2，
即q≥$\frac{4}{3}$，由q为整数，
则q≥2；
（2）证明：由b_n=b₁q^n-1=3q^n-1，
由（1）q为正整数，
由$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$=q^n-1+q^n-2+…+q+1，
q^n-1，q^n-2，…，q均为正整数，
则$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$（n∈N^*）是正整数；
（3）解：S_n=$\frac{n（n+5）}{2}$，
若存在n∈N^*，使S_n≥qⁿ成立，
即有$\frac{n（n+5）}{2}$≥qⁿ，（q∈N^*，q≥2），
当q=2时，n=1，有3＞2成立；
当q=3时，n=1，有3=3成立；
当q≥4时，qⁿ＞4ⁿ，
由2•4ⁿ-（n²+5n）=2²ⁿ⁺¹-（n²+5n）
＞1+（2n+1）+$\frac{1}{2}$•2n•（2n+1）-n²+5n
=n²-2n+2＞0，
即有4ⁿ＞$\frac{1}{2}$（n²+5n），
则有$\frac{n（n+5）}{2}$＜qⁿ，
综上可得q的取值为2，3．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式的解法，属于中档题．