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    7．在平面直角坐标系xOy中，设直线C1：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞b＞0）与坐标轴所围成的封闭图形的面积为1，直线C1上的点到原点O的最短距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为Γ．
    （1）求椭圆Γ的标准方程；
    （2）己知直线l：y=kx+m与椭圆Γ交于不同两点A、B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹Γ于点Q，且$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OG}$，λ∈R，若△AOB的面积为1，求λ的值．

    分析 （1）由题意可得ab=2，再由点到直线的距离公式，可得a2+b2=5，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
    （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，由已知条件得m≠0，计算|x1-x2|，由此能求出△AOB的面积，解方程可得所求．

    解答 解：（1）直线C1：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1与坐标轴的交点为（a，0），（0，b），
    即有$\frac{1}{2}$ab=1，即ab=2，
    又原点到直线的距离为$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
    即为$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
    解得a=2，b=1，
    则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1；
    （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
    由直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
    ∴x1+x2=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$①
    ∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=$\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，
    又由中点坐标公式，得G（$\frac{-4km}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
    将Q（$\frac{-4λkm}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{λm}{1+4{k}^{2}}$）代入椭圆方程，化简，得λ2m2=1+4k2，②．
    ②解：由①②得m≠0，λ＞1且|x1-x2|=$\frac{4\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，③
    结合②③，得S△AOB=$\frac{1}{2}$|m|•|x1-x2|=$\frac{2\sqrt{{λ}^{2}-1}}{{λ}^{2}}$，λ∈（1，+∞），
    由S△AOB=1，解得λ=$\sqrt{2}$．

    点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量的共线的坐标表示和三角形的面积公式的运用，属于中档题．

    练习册系列答案
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    17．四面体的一条棱长为x，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时的表面积为$\frac{9\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{4}\sqrt{15}$．

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    18．已知焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的长轴为4，焦距为2，过右焦点的直线l与椭圆交于A、B两点，|AB|=$\frac{24}{7}$，则直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

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    15．已知an=n+2，从无穷数列{an}中抽取部分项a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，…a${\;}_{{k}_{3}}$，…组成一个等比数列{bn}，其中1=k1＜k2＜k3＜…＜kn＜kn+1＜…，（n∈N*），kn∈N*，记这个等比数列的公比为q．
    （1）求证：q∈N*，q≥2；
    （2）求证：$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$（n∈N*）是正整数；
    （3）设数列{an}的前n项的和为Sn，若存在n∈N*，使Sn≥qn成立，求q的所有可能取值，并证明你的结论．

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    2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数f（x）=x2+2x+b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为C．
    （1）求实数b的取值范围；
    （2）当圆C的半径为$\sqrt{2}$时，求圆C的方程；
    （3）在（2）的条件下，过点（-1，1）的最长弦与最短弦分别为AB，CD，求四边形ACBD的面积．

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    1．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=BC=2，过A′，C′，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到ABCD-A′C′D′，
    （Ⅰ）若DD′=3，求几何体ABCD-A′C′D′的体积；
    （Ⅱ）若DD′＞1，且直线A′D与平面A′BC′所成的角的正弦值为$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，求二面角D-A′B-C′的平面角的余弦值．

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    8．如图所示，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，点E在边AB上，点F在边CD上，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使得CF⊥AE．
    （1）若点M在CD上，且FM⊥CD，求证：FM⊥平面ACD；
    （2）当三棱锥F-ABE的体积最大时，在线段CF上是否存在一点G，使得DG∥平面ABC，若存在，求此时线段CG的长度；若不存在，请说明理由．

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    5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P为正方体各面上的任一点．
    ①若动点P是AD的中点，则A1E∥平面C1CP；
    ②若动点P在底面ABCD内，且PA1=A1E，则点P运动轨迹为一条线段；
    ③若动点P是CC1的中点，则A1E，DP为异面直线；
    ④若动点P与C点重合，则平面A1EP截该正方体所得的截面的形状为菱形．
    以上为真命题的序号的是（　　）
    A．①②B．①④C．②④D．③④

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    6．已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）．

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