Question

6．已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）．

Answer 1

分析 由a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，即有1+a=（a+b）+（a+c），1+b=（a+b）+（b+c），1+c=（a+c）+（b+c），运用基本不等式，相乘即可得到．

解答 证明：由a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，
即有1+a=（a+b）+（a+c）≥2$\sqrt{（a+b）（a+c）}$=2$\sqrt{（1-c）（1-b）}$，
1+b=（a+b）+（b+c）≥2$\sqrt{（a+b）（b+c）}$=2$\sqrt{（1-c）（1-a）}$，
1+c=（a+c）+（b+c）≥2$\sqrt{（a+c）（b+c）}$=2$\sqrt{（1-b）（1-a）}$，
相乘可得，（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）．
当且仅当a=b=c时，等号成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查推理能力，属于中档题．