Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，且PA=AB=1，CD=$\sqrt{2}$，AD=2．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意可知棱锥底面为直角梯形，结合已知求出BC，得到底面面积，代入棱锥体积公式得答案；
（2）连接BE，PE，可得∠PBE为异面直线PB与CD所成角，然后通过解直角三角形得答案．

解答 解：（1）如图，
在底面四边形ABCD中，∵AB⊥AD，BC∥AD，
∴四边形ABCD为直角梯形，
过C作CE⊥AD于E，设BC=x，
∵AD=2，AB=1，CD=$\sqrt{2}$，
∴DE=2-x，CE=1，则$（2-x）^{2}+{1}^{2}=（\sqrt{2}）^{2}$，
解得：x=1或x=3（舍）．
∴BC=1．
又PA=1．
则${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×1×1=\frac{1}{2}$；
（2）连接BE，PE，
由BC∥DE，BC=DE，可得四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD．
则∠PBE为异面直线PB与CD所成角．
在Rt△PAB中，∵PA=AB=1，∴PB=$\sqrt{2}$．
在Rt△PAE中，∵PA=AB=1，∴PE=$\sqrt{2}$．
在△PBE中，由PB=PE=$\sqrt{2}$，BE=$CD=\sqrt{2}$，
∴∠PBE=60°．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．