Question

13．点F（c，0）为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆x²+y²=$\frac{{b}^{2}}{4}$相切于点Q，且$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PF}$，则双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 运用中位线定理，可得OQ∥PF′，|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF′|，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，即可得到．

解答 解：设左焦点为F′，由于O为F′F的中点，Q为线段PF的中点，
则由中位线定理可得OQ∥PF′，|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF′|，
由线段PF与圆x²+y²=$\frac{{b}^{2}}{4}$相切于点Q，则|OQ|=$\frac{b}{2}$，|PF′|=b，
由双曲线的定义可得，|PF|-|PF′|=2a，
即有|PF|=2a+b，
由OQ⊥PF，勾股定理可得$\frac{{b}^{2}}{4}$+（a+$\frac{b}{2}$）²=c²，
即b=2a，c²=5a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．