Question

3．设集合A={（x，y）|log_ax+log_ay＞0}，B={（x，y）|y+x＜a}，若A∩B=∅，则a的取值范围是（　　）

• A． ∅
• B． a＞0，a≠1
• C． 0＜a≤2，a≠1
• D． 1＜a≤2

Answer 1

分析 利用对数的运算性质化简集合A，然后画出图形，数形结合求得使A∩B=∅的a的取值范围．

解答 解：∵log_ax+log_ay=log_axy＞0=log_a1，
当a＞1时，有xy＞1，∴y$＞\frac{1}{x}$；
当0＜a＜1时，有0＜xy＜1，∴y$＜\frac{1}{x}$．
（1）当0＜a＜1时，y=$\frac{1}{x}$与y+x＜a的区域始终由公共点，∴0＜a＜1（舍），
；
（2）当a＞1时，要使A∩B=∅，需有x+y=a刚切过（1，1）时，即a=2时成立，
将此直线向左下平移也成立．
∴1＜a≤2，
．
故选：D．

点评 此题考查了简单的线性规划，考查交集及其运算，体现了数形结合的数学思想方法及数学转化思想方法，是中档题．