Question

15．正四棱锥P-ABCD内接于球，底面ABCD是和球心O在同一平面内，球的体积为$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$，则正四棱锥P-ABCD的表面积为 （　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 4+4$\sqrt{3}$
• C． 4+4$\sqrt{2}$
• D． 4+8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用球的体积，求出球的半径，根据底面ABCD是和球心O在同一平面内，可得底面ABCD的边长为2，斜高为$\sqrt{3}$，即可求出正四棱锥P-ABCD的表面积．

解答 解：∵球的体积为$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$，
∴$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$，
∴R=$\sqrt{2}$，
∵底面ABCD是和球心O在同一平面内，
∴底面ABCD的边长为2，斜高为$\sqrt{3}$，
∴正四棱锥P-ABCD的表面积为4+4×$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=4+4$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查球的体积，考查正四棱锥P-ABCD的表面积，求出底面ABCD的边长为2，斜高为$\sqrt{3}$是关键．