Question

12．已知△ABC为直角三角形，AB⊥BC，四边形ABDE为等腰梯形，DE∥AB，平面ABDE⊥平面ABC，AB=BC=2DE=2．
（1）在AC上是否存在一点F，使得EF∥平面BCD？
（2）若等腰梯形ABCD的高h=1，求四棱锥C-ABDE的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点G，AC的中点F，根据面面平行的性质定理即可证明EF∥平面BCD．
（2）证明BC⊥平面ABDE，利用棱锥的体积公式，求出四棱锥C-ABDE的体积．

解答 解：（1）取AB的中点G，AC的中点F，连接EG，EF，FG，
则EG∥BD，DG∥BC，
则平面EFG∥平面BCD，
∵EF?平面EFG，
∴EF∥平面BCD，
即F是AC的中点时，满足EF∥平面BCD．
（2）∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，AB⊥BC，
∴BC⊥平面ABDE，
∵四边形ABDE为等腰梯形，DE∥AB，高h=1，AB=BC=2DE=2，
∴四棱锥C-ABDE的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×2$=1．

点评 本题主要考查空间线面平行的判定以及四棱锥C-ABDE的体积的求解，正确运用线面平行的判定是解决本题的关键．