Question

18．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别是边CD、CB的中点，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA、PB、PD，得到五棱锥P-ABFED，且PB=$\sqrt{10}$．

（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求四棱锥P-BDEF的体积；
（3）求二面角B-AP-O的正切值．

Answer 1

分析 （1）由三角形的中位线定理可证BD∥EF，再由菱形的对角线互相垂直证得BD⊥AC．即可得到EF⊥AO，再由已知可得EF⊥PO，然后利用线面垂直的判定得答案；
（2）设AO∩BD=H，连接BO，结合已知可得HO=PO=$\sqrt{3}$，通过解直角三角形求得PO⊥平面BFED．然后求出梯形BFED的面积，代入棱锥的体积公式得答案．
（3）证明PO⊥BO，PO⊥平面BFED，过H作HC⊥AP，垂足为C，连结BC，∠BCH为二面角B-AP-O的平面角，由此能求出二面角B-AP-O的正切值．

解答 （1）证明：如图，
∵点E，F分别是边CD，CB的中点，
∴BD∥EF．
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC．
∴EF⊥AC．
∴EF⊥AO，EF⊥PO．
∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，
∴EF⊥平面POA．
∴BD⊥平面POA．
（2）解：设AO∩BD=H，连接BO，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴BD=4，BH=2，HA=2$\sqrt{3}$，HO=PO=$\sqrt{3}$．
在Rt△BHO中，BO=$\sqrt{7}$，
在△PBO中，BO²+PO²=10=PB²，
∴PO⊥BO．
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，BO?平面BFED，
∴PO⊥平面BFED．
梯形BFED的面积为S=$\frac{1}{2}$（EF+BD）•HO=3$\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-BFED的体积V=$\frac{1}{3}S•PO$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．
（3）过H作HC⊥AP，垂足为C，连结BC，
∵BH⊥平面POA，且AP?平面POA，
∴BH⊥AP，
∵HC∩BH=H，HC?平面BHC，BH?平面BHC，
∴AP⊥平面BHC，BC?平面BHC，
∵BC?平面BHC，∴AP⊥BC，
∴∠BCH为二面角B-AP-O的平面角，
在Rt△POA中，AP=$\sqrt{A{O}^{2}+P{O}^{2}}$=$\sqrt{30}$，
在Rt△HCA中，∠POA=∠HCA=90°，∠APO=∠AHC，
∴△POA∽△HCA，∴$\frac{PO}{HC}=\frac{PA}{HA}$，
∴HC=$\frac{PO•HA}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{\sqrt{30}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
在Rt△BHC中，tan∠BCH=$\frac{\sqrt{30}}{3}$．
∴二面角B-AP-O的正切值为$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．