Question

19．非负实数a₁，a₂，…a_n，满足a₁a₂…a_n=1，对于n≥4，证明$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$≥n+3．

Answer 1

分析 由a₁a₂…a_n=1得：当n≥2时，a₁a₂…a_n-1=1，两个式子相除求出a_n、$\frac{1}{{a}_{n}}$，代入不等式的左边化简即可证明结论成立．

解答 证明：由题意得，a₁a₂…a_n=1，①
所以当n≥2时，a₁a₂…a_n-1=1，②
$\frac{①}{②}$得a_n=1，则$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=n+$\frac{3n}{n}$=n+3，
所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$≥n+3成立．

点评 本题考查数列的递推公式的化简、变形，以及数列与不等式的问题．