Question

10．已知函数f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+（1-2a）（a＞0）
（1）当a≥$\frac{1}{2}$时，比较f（x）与㏑x在[1，+∞）上的大小关系；
（2）证明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞㏑（n+1）+$\frac{n}{{2（{n+1}）}}$（n≥1）；
（3）已知S=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2014}$，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）

Answer 1

分析 （1）令g（x）=f（x）-lnx，利用导数研究其单调性即可得出．
（ II）由（ I）可知：当$a≥\frac{1}{2}$时，有f（x）≥lnx（x≥1），令$a=\frac{1}{2}$，有$f（x）=\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）≥lnx（x≥1）$，且当$x＞1时，\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）＞lnx$，令$x=\frac{k+1}{k}，有ln\frac{k+1}{k}＜\frac{1}{2}[{\frac{k-1}{k}-\frac{k}{k+1}}]=\frac{1}{2}[{（1+\frac{1}{k}）-（1-\frac{1}{k+1}）}]$，即$ln（k+1）-lnk＜\frac{1}{2}（\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}），k=1，2，3，…n$，利用“累加求和”即可得出．
（3）重要不等式$\frac{x}{1+x}≤ln（1+x）$，令$x=\frac{1}{n-1}$，得$\frac{1}{n}＜lnn-ln（n-1）$，通过累加可得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜1+lnn，于是1+lnn＞1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞㏑（n+1）+$\frac{n}{{2（{n+1}）}}$，利用已知即可得出．

解答 解：（1）令$g（x）=f（x）-lnx=ax+\frac{a-1}{x}+1-2a-lnx，x∈[{1，+∞}）$，
则$g（1）=0，g'（x）=a-\frac{a-1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-x-（a-1）}}{x^2}=\frac{{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}}{x^2}$，
当$a≥\frac{1}{2}时，\frac{1-a}{a}≤1$．
∵x＞1，则g'（x）＞0，g（x）是增函数，
∴g（x）＞g（1）=0，
即f（x）＞lnx．
（ II）由（ I）可知：当$a≥\frac{1}{2}$时，有f（x）≥lnx（x≥1），
令$a=\frac{1}{2}$，有$f（x）=\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）≥lnx（x≥1）$，且当$x＞1时，\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）＞lnx$，
令$x=\frac{k+1}{k}，有ln\frac{k+1}{k}＜\frac{1}{2}[{\frac{k-1}{k}-\frac{k}{k+1}}]=\frac{1}{2}[{（1+\frac{1}{k}）-（1-\frac{1}{k+1}）}]$，
即$ln（k+1）-lnk＜\frac{1}{2}（\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}），k=1，2，3，…n$，
将上述n个不等式依次相加得$ln（n+1）＜\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）+\frac{1}{2（n+1）}$．
整理得$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＞ln（n+1）+\frac{n}{2（n+1）}$．
（3）重要不等式$\frac{x}{1+x}≤ln（1+x）$，令$x=\frac{1}{n-1}$，得$\frac{1}{n}＜lnn-ln（n-1）$，
通过累加可得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜1+lnn，
所以1+lnn＞1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞㏑（n+1）+$\frac{n}{{2（{n+1}）}}$，
令n=2014，得1+ln2014＞S＞ln2015+$\frac{1007}{2015}$，
1+ln2014≈8.6079，ln2015+$\frac{1007}{2015}$≈7.6084+0.4948=8.1032，
∴S的整数部分是8．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其证明不等式、“放缩法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．