Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），则S₂₀₁₂=3×2¹⁰⁰⁶-3．

Answer 1

分析 由已知条件得a₁=1，a₂=2，由已知条件得数列{a_n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，由此能求出S₂₀₁₂．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N^*
∴n=1时，a₂=2，
∵a_n•a_n+1=2ⁿ，∴n≥2时，a_n•a_n-1=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴数列{a_n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，
∴S₂₀₁₂=$\frac{1-{2}^{1006}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{1006}）}{1-2}$=3×2¹⁰⁰⁶-3．
故答案为：3×2¹⁰⁰⁶-3．

点评 本题考查数列的前2012项的和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．