Question

13．已知a、b、c分别为一个三角形的三边长，求证：$\frac{c}{a+b}$+$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$＜2．

Answer 1

分析 利用“$\frac{a}{b+c}$＜$\frac{a+a}{b+c+a}$”放缩可知$\frac{a}{b+c}$＜$\frac{2a}{a+b+c}$、$\frac{b}{c+a}$＜$\frac{2b}{a+b+c}$、$\frac{c}{a+b}$＜$\frac{2c}{a+b+c}$，相加计算即得结论．

解答 证明：依题意易知$\frac{c}{a+b}$、$\frac{a}{b+c}$、$\frac{b}{c+a}$均为正分数，
∴$\frac{a}{b+c}$＜$\frac{a+a}{b+c+a}$=$\frac{2a}{a+b+c}$，
同理可知$\frac{b}{c+a}$＜$\frac{2b}{a+b+c}$，$\frac{c}{a+b}$＜$\frac{2c}{a+b+c}$，
∴$\frac{c}{a+b}$+$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$＜$\frac{2c}{a+b+c}$+$\frac{2a}{a+b+c}$+$\frac{2b}{a+b+c}$
=$\frac{2（a+b+c）}{a+b+c}$
=2．

点评 本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．