Question

20．在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，EA=2BF=2，G为CE的中点，直线AC与BD相交于点O
（1）求证：FG⊥平面EAC；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结OG，推导出四边形BFGO是平行四边形，从而FG∥BO，由此能证明FG⊥平面EAC．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答 （1）证明：连结OG，∵G为CE的中点，直线AC与BD相交于点O，底面ABCD是边长为2的菱形，
∴O是AC中点，且OG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}EA$，
∵EA∥BF，EA=2BF=2，
∴BF$\underset{∥}{=}$OG，∴四边形BFGO是平行四边形，∴FG∥BO，
∵ABCD是边长为2的菱形，∴BO⊥AC，
∵EA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，∴BO⊥EA，
∵EA∩AC=A，∴BO⊥平面PAC，
∴FG⊥平面EAC．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，Og为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得B（$\sqrt{3}$，0，0），D（-$\sqrt{3}$，0，0），E（0，-1，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{DB}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{3}，-1，2$），$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{3}x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
设平面DEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{3}a-b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{3}a+b=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-3，-3），
设二面角B-DE-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-9}{\sqrt{5}•\sqrt{21}}$|=$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．
∴二面角B-DE-C的余弦值为$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，注意向量法的灵活运用．