Question

5．在正四棱锥S-ABCD中，SA=2$\sqrt{3}$，当该棱锥的体积最大时，它的外接球（正四棱锥的顶点都在球的表面上）的体积为36π．

Answer 1

分析 设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值，再求出外接球的半径，即可得出结论．

解答 解：设底面边长为a，则高h=$\sqrt{12-\frac{{a}^{2}}{2}}$，
所以体积V=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{1}{3}\sqrt{12{a}^{4}-\frac{1}{2}{a}^{6}}$，
设y=12a⁴-$\frac{1}{2}$a⁶，则y′=48a³-3a⁵，当y取最值时，y′=48a³-3a⁵=0，解得a=0或a=4时，
当a=4时，体积最大，此时h=2，
设外接球的半径为R，则R²=（2-R）²+（2$\sqrt{2}$）²，
所以R=3，
所以外接球（正四棱锥的顶点都在球的表面上）的体积为$\frac{4}{3}π•{3}^{3}$=36π．
故答案为：36π．

点评 本试题主要考查锥体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．