Question

15．如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=2，PA=BC=4，M是PD的中点．
（1）求证：平面AMC⊥平面PAB；
（2）求二面角M-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，过A作BC的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法得到$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，由此能证明平面AMC⊥平面PAB．
（2）求出平面ABM的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角M-AB-C的余弦值．

解答 （1）证明：以A为原点，过A作BC的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，0，0），P（0，0，4），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，3，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，3，0$），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=3-3+0=0，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，∴AP⊥AC，AB⊥AC，
∵AB∩AP=P，∴AC⊥平面PAB，
∵AC?平面AMC，∴平面AMC⊥平面PAB．
（2）解：D（0，2，0），M（0，1，2），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，2），
设平面ABM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，3，-\frac{3}{2}$），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角M-AB-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{57}}{2}}$|=$\frac{3\sqrt{57}}{57}$=$\frac{\sqrt{57}}{19}$．
∴二面角M-AB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．