Question

6．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinAsinC=sinBsinA+sinBsinC．
（1）求角B的范围；
（2）求f（B）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{B}{2}$+2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$-3的最值．

Answer 1

分析 （1）由2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，利用正弦定理可得2ac=ab+bc，由余弦定理可得cosB=$\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}-\frac{1}{\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}+1}$，再利用基本不等式可得cosB≥1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，利用y=cosx在（0，π）上单调递减，可得B的取值范围．
（2）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（B）=2sin（B+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-3$，结合B的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，利用正弦定理可得2ac=ab+bc，
∴b=$\frac{2ac}{a+c}$．
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{2ac}{a+c}）^{2}}{2ac}$=$\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}-\frac{1}{\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}+1}$，
∵$\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}$≥2$\sqrt{\frac{c}{2a}•\frac{a}{2c}}$=1，当且仅当a=c时取等号．
∴cosB≥1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
又∵y=cosx在（0，π）上单调递减，
∴B的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]．
（2）∵f（B）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{B}{2}$+2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$-3
=2$\sqrt{3}$×$\frac{1+cosB}{2}$+sinB-3
=2（$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）+$\sqrt{3}-3$
=2sin（B+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-3$，
又∵B的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]．
∴B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（B+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（B）=2sin（B+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-3$∈[2$\sqrt{3}-3$，$\sqrt{3}-1$]，
故f（B）的最大值为$\sqrt{3}-1$，最小值为2$\sqrt{3}-3$．

点评 本题综合考查了正弦定理和余弦定理、基本不等式的性质、倍角公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．