Question

11．过正四面体ABCD的高DH作一平面，与正四面体的三个侧面相交得到三条直线DX，DY，DZ，这三条直线与正四面体的底面所成角分别为$\alpha$，$\beta$，$\gamma$．求证：tan²α+tan²β+tan²γ=12．

Answer 1

分析 由已知得tan²α+tan²β+tan²γ=$\frac{D{H}^{2}}{X{H}^{2}}+\frac{D{H}^{2}}{Y{H}^{2}}+\frac{D{H}^{2}}{Z{H}^{2}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{X{H}^{2}}+\frac{1}{Y{H}^{2}}+\frac{1}{Z{H}^{2}}$），以BC的中点O为原点，OC为x轴正半轴建立直角坐标系，利用参数方程能求出$\frac{1}{X{H}^{2}}+\frac{1}{Y{H}^{2}}+\frac{1}{Z{H}^{2}}$=18，由此能证明tan²α+tan²β+tan²γ=12．

解答 证明：设正四面体的边长为1，高为DH，过DH的平面交正四面体的三个侧面于DX，DY，DZ，
则∠DHX=α，∠DYH=β，∠DZH=γ，DH²=$\frac{2}{3}$，
∴tan²α+tan²β+tan²γ=$\frac{D{H}^{2}}{X{H}^{2}}+\frac{D{H}^{2}}{Y{H}^{2}}+\frac{D{H}^{2}}{Z{H}^{2}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{X{H}^{2}}+\frac{1}{Y{H}^{2}}+\frac{1}{Z{H}^{2}}$），
以BC的中点O为原点，OC为x轴正半轴建立直角坐标系，则点H（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
直线HX的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{6}+tsinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x+$\frac{1}{2}$），把HX的方程代入，得$\frac{\sqrt{3}}{6}+tsinθ=\sqrt{3}（tsinθ+\frac{1}{2}）$，
∴$\frac{1}{{t}_{1}}=\sqrt{3}（sinθ-\sqrt{3}cosθ）$，
直线AC的方程为$y=-\sqrt{3}（x-\frac{1}{2}）$，把HX的方程代入，得$\frac{\sqrt{3}}{6}+tsinθ=-\sqrt{3}（tsinθ-\frac{1}{2}）$，
∴$\frac{1}{{t}_{2}}=\sqrt{3}（sinθ+\sqrt{3}cosθ）$，
令y=0，得$\frac{1}{{t}_{3}}$=-2$\sqrt{3}$sinθ，
∴$\frac{1}{X{H}^{2}}+\frac{1}{Y{H}^{2}}+\frac{1}{Z{H}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{t}_{3}}^{2}}$=18，
∴tan²α+tan²β+tan²γ=12．

点评 本题考查二面角的正切的平方和等于12的证明，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．