Question

1．如图①，在等腰△ABC中，O是底边BC的中点，将△BAO沿AO折至△B′AO的位置．

（1）求证：AO⊥平面B′OC；
（2）若三棱锥B′-AOC的三视图是如图②所示的三个直角三角形，求二面角A-B′C-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由O是等腰三角形ABC底边BC的中点，得AO⊥BC，则AO⊥B′O，AO⊥OC，由线面垂直的判定得答案；
（2）由三视图可知，OA⊥OB′⊥OC，且OA=3，OB′=OC=1，取B′C中点M，连接OM，则OM⊥B′C，再连接AM，得到∠AMO为二面角A-B′C-O的平面角．然后通过求解直角三角形求得二面角A-B′C-O的余弦值．

解答 （1）证明：∵△ABC为等腰三角形，且AB=AC，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，则AO⊥B′O，AO⊥OC，
又B′O∩OC=O，∴AO⊥平面B′OC；
（2）解：由三视图可知，OA⊥OB′⊥OC，
且OA=3，OB′=OC=1，
取B′C中点M，连接OM，则OM⊥B′C，
再连接AM，
∵AO⊥平面B′OC，∴AO⊥B′C，
又OM⊥B′C，AO∩OM=O，
∴B′C⊥平面AOM，则B′C⊥AM，
∴∠AMO为二面角A-B′C-O的平面角．
在等腰直角三角形B′OC中，
∵OB′=OC=1，∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又OA=3，∴$MA=\sqrt{{3}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{38}}{2}$，
∴$cos∠AOM=\frac{OM}{MA}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{38}}{2}}=\frac{\sqrt{19}}{19}$．

点评 本题考查空间几何体的三视图，考查了二面角的平面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．