Question

17．直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A₁A=3，M、N分别为A₁B₁、A₁D₁的中点，E、F分别是B₁C₁、C₁D₁的中点．
（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（2）求平面AMN与平面EFDB的距离．

Answer 1

分析 （1）连接B₁D₁，NF，证明MN∥平面EFDB，AN∥平面EFDB，即可证明平面AMN∥平面EFDB；
（2）平面AMN与平面EFDB的距离=B到平面AMN的距离h，利用等体积求平面AMN与平面EFDB的距离．

解答 （1）证明：连接B₁D₁，NF
∵M、N分别为A₁B₁、A₁D₁的中点，E、F分别是B₁C₁、C₁D₁的中点，
∴MN∥EF∥B₁D₁，
∵MN?平面EFDB，EF?平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB，
∵NF平行且等于AB，
∴ABFN是平行四边形，
∴AN∥BF，
∵AN?平面EFDB，BF?平面EFDB，
∴AN∥平面EFDB，
∵AN∩MN=N，
∴平面AMN∥平面EFDB；
（2）解：平面AMN与平面EFDB的距离=B到平面AMN的距离h．
△AMN中，AM=AN=$\sqrt{10}$，MN=$\sqrt{2}$，S_△AMN=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{10-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{19}}{2}h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•3$，
∴h=$\frac{12\sqrt{19}}{19}$．

点评 本题考查线面、面面平行的判定，考查平面与平面间距离的计算，属于中档题．