Question

6．已知数列{a_n}为等比数列．
（1）a₅²=a₃•a₇是否成立？a₅²=a₁•a₉成立吗？为什么？
（2）a_n²=a_n-1•a_n+1（n＞1）是否成立？你据此能得到什么结论？
（3）a_n²=a_n-k•a_n+k（n＞k＞0）是否成立？你又能得到什么结论？

Answer 1

分析 由等比数列的通项公式逐一验证三个命题得答案．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等比数列，设首项为a₁，公比为q，
∴a₅²=$（{a}_{1}{q}^{4}）^{2}={{a}_{1}}^{2}{q}^{8}$，a₃•a₇=$（{a}_{1}{q}^{2}）（{a}_{1}{q}^{6}）$=${{a}_{1}}^{2}{q}^{8}$，则a₅²=a₃•a₇ ．
又${a}_{1}{a}_{9}={a}_{1}•{a}_{1}{q}^{8}$，则a₅²=a₁•a₉ ；
（2）a_n²=$（{a}_{1}{q}^{n-1}）^{2}={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，a_n-1•a_n+1=$（{a}_{1}{q}^{n-2}）（{a}_{1}{q}^{n}）={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，∴a_n²=a_n-1•a_n+1．
由此可得：等比数列中，除首项和末项外，其它任何一项都是与它相邻两项的等比中项；
（3）a_n²=$（{a}_{1}{q}^{n-1}）^{2}={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，a_n-k•a_n+k=$（{a}_{1}{q}^{n-k-1}）（{a}_{1}{q}^{n+k-1}）={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，∴a_n²=a_n-k•a_n+k ．
由此可得：等比数列中，除首项和末项外，其它任何一项都是与它等距离两项的等比中项

点评 本题考查等比数列的性质，熟记以上结论对于求解等比数列问题尤为重要，该题是基础题．