Question

9．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为A₁C₁任意一点．
（1）求证：DP∥平面AB₁C
（2）求证：平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出A₁C₁∥AC，A₁D∥B₁C，推导出平面ACB₁∥平面A₁C₁D，由此能证明DP∥平面AB₁C．
（2）由已知条件推导出B₁D₁∥BD，AD₁∥BC₁，由此能证明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

解答 （1）证明：∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∥AC，A₁D∥B₁C，
A₁C₁∩A₁D=A₁，AC∩B₁C=C，
A₁C₁?平面A₁C₁D，AD₁?平面A₁C₁D，AC?平面ACB₁，B₁C?平面ACB₁，
∴平面ACB₁∥平面A₁C₁D，
∵DP?平面A₁C₁D，∴DP∥平面AB₁C．
（2）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁∥BD，AD₁∥BC₁，
AD₁∩B₁D₁=D₁，BD∩BC₁=B，
B₁D₁?平面AB₁D₁，AD₁?平面AB₁D₁，BD?平面C₁BD，BC₁?平面C₁BD，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

点评 本题考查线面平行、面面平行的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．