Question

19．已知函数f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）e^2x+x．若函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数的导数f′（x）=（2a-1）e^2x+1．利用函数的单调性，求解a的取值范围．

解答 解：f′（x）=（2a-1）e^2x+1．
函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，可得x＜0时，（2a-1）e^2x+1＞0恒成立．
2ae^2x＞e^2x-1，
a＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{e}^{2x}}$恒成立．
∵$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{e}^{2x}}＜\frac{1}{2}$，∴$a≥\frac{1}{2}$．
实数a的取值范：$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、恒成立问题的等价转化方法，考查计算能力，属于难题．